Bonjour, je n’arrive pas à répondre à cette question : Existe-t-il 2 entiers naturels consécutifs dont la différence des inverses vaut 1/132 ?

Bonjour,

Prenons deux entiers consécutifs, notons n le premier et le second sera donc n+1

la différence des inverses est

[tex]\dfrac1{n}-\dfrac1{n+1}\\\\=\dfrac{n+1-n}{n(n+1)}\\\\=\dfrac{1}{n(n+1)}[/tex]

Il s'agit maintenant de trouver n tel que

n(n+1)=132

[tex]< = > n^2+n-132=0[/tex]

Si on veut faire le bourrin on peut faire comme ci dessous

la somme des racines vaut -1=11-12, leur produit vaut -132=-12*11

donc les racines sont 11 et -12, on peut aussi utiliser le discriminant ou la forme canonique, selon la méthode que tu préfères

ainsi

[tex]< = > n^2+n-132=0\\ \\ < = > (n+12)(n-11)=0[/tex]

donc les solutions sont 11 et -12, et -12 n'est pas un entier naturel donc on retient 11.

De ce fait les deux entiers consécutifs attendus sont 11 et 12.

Cependant lorsque nous avons n(n+1)=132 nous pouvons regarder cela d'un point de vue arithmétique

132 se décompose comme 11*2*2*3

les cas possibles sont

11*12

22*6

44*3

33*4

66*2

du coup la solution est 11 et 12

En espérant t'avoir aidé

Merci