matière : Mathematiques exos : Limites 1. démontrer que pour tout x ∈ ]0; +∞[ , [tex] \sqrt{x+1} - \sqrt{x} [/tex]| ≤ [tex] \frac{1}{2 \sqrt{x} } [/tex] . en d

Bonjour,
je te mets la réponse en fichier joint

Bonjour,


1) Pour tout x de cet intervalle :
[tex]\sqrt{x+1} -\sqrt{x} = \frac{\left(\sqrt{x+1} -\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1} +\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}\\ \sqrt{x+1} -\sqrt{x} = \frac{x+1-x}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x} }\\ \sqrt{x+1} -\sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x} }[/tex]

Par croissance stricte de la fonction racine carrée :
[tex]\sqrt{x+1} > \sqrt x\\ \sqrt{x+1} +\sqrt x >2\sqrt x\\ \frac{1}{\sqrt {x+1} +\sqrt x} < \frac{1}{2\sqrt x}[/tex]

Ce qui termine la démonstration.

2)Tout d'abord, pour tout x appartenant à Df, on a :
[tex]\sqrt{x+1} > 0\\ \sqrt x < \sqrt {x+1}\\ f\left(x\right) \geq 0[/tex]

Ensuite, on a :
[tex]\forall x \in D_f, f\left(x\right) < \frac{1}{2\sqrt x}\\ \lim \limits _{x\to +\infty} \frac{1}{2\sqrt x} = 0[/tex]

On en déduit
[tex]\lim \limits_{x\to +\infty} f\left(x\right) = 0[/tex]

Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)