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Question

Bonsoir tout le monde j'ai un problème avec un exercice à résoudre.

SVP aidez moi c'est à rendre pour vendredi

1) [tex](\sqrt{x}-\sqrt{y} )^{2} \geq 0\\= x-2\sqrt{xy} +y\geq 0\\=x+y\geq 2\sqrt{xy}[/tex][/tex]



2) Par contre le j'y arrive pas. J'ai essayé de le faire pendant 3 heures et ça n'aboutit à rien.
Bonsoir tout le monde j'ai un problème avec un exercice à résoudre. SVP aidez moi c'est à rendre pour vendredi 1) [tex](\sqrt{x}-\sqrt{y} )^{2} \geq 0\\= x-2\sq

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1 Réponse

  • Bjr

    indeed, avec x et y positifs

    [tex]0\leq \left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=x+y-2\sqrt{x}\sqrt{y}[/tex]

    d'où le résultat

    Et nous avons égalité uniquement pour V(x)=V(y) donc x =y

    Et de la même manière

    [tex]0\leq \left( \sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}\\\\\left(\sqrt{x+y}\right)^2=x+y\leq x+y+2\sqrt{xy}=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\\\\\sqrt{x+y}\leq \sqrt{x}+\sqrt{y}[/tex]

    il y a égalité uniquement pour V(xy)=0 ce qui donne x=0=y

    donc, pour x>0 et y>0

    [tex]2\sqrt{xy}\leq x+y=\sqrt{x+y}\sqrt{x+y} < \sqrt{x+y}\left( \sqrt{x}+\sqrt{y}\right)[/tex]

    et donc

    [tex]2 < \dfrac{ \sqrt{x+y}\left( \sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}=\sqrt{x+y}\left(\dfrac1{\sqrt{x}}+\dfrac1{\sqrt{y}}\right)[/tex]

    d'òu le résultat

    Merci

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