Bonjour, Soit g la fonction définie sur ]0; +[ par g(x) = 4x - x In (x). 8 1. Déterminer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition et préciser l

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

Quand x tend vers 0 avec x > 0 :

Trouver la limite de "x*ln(x)"  en zéro avec x > 0  n'est pas simple du tout. Tu trouves des démonstrations sur Internet.

Sinon , on admet généralement que toute puissance de "x" impose sa limite à la fct ln(x).

Alors :

lim x*ln(x)=0

x-->0

x > 0

Donc :

lim g(x)=0-0=0

x-->0

x > 0

Une asymptote : l'axe des ordonnées.

Quand x tend vers +∞ :

g(x)=x(4-ln(x))

lim ln(x)=+∞

x-->+∞

lim (4-ln(x))=-∞

x-->+∞

lim g(x)=lim [x(4-ln(x))]=(+∞) x (-∞)=-∞

x-->+∞

2)

x*lnx est de la forme  u*v avec :

u=x donc u'=1

v=ln(x) donc v'=1/x

(x*ln(x)) ' =u'v+uv'=ln(x)+1

Donc :

g '(x)=4-ln(x)-1

g '(x)=3-ln(x)

3-ln(x) > 0

ln(x) < 3

x < exp(3) ≈ 20

x------>0....................exp(3).................+∞

g '(x)--->.......+............0............-............

g(x)--->||..........C..........?.............D...........

C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.

g(exp(3))=4*exp(3)-3exp(3)=exp(3) ≈ 20

3)

La limite en 0 avec x > 0 est zéro.

Sur ]0;exp(3)] , g(x) est strictement croissante et passe par un max pour x=exp(3).

Ensuite g(x) est strictement décroissante avec limite = -∞ pour x -->+∞.

Donc g(x) s'annule pour une certaine valeur que l'on cherche.

g(x)=x(4-ln(x))

On résout donc :

4-ln(x)=0

ln(x)=4

x=exp(4) ≈ 54.6

Tableau de signes :

x----->0.................exp(4)..................+∈

g(x)-->||.......+..........0..............-..........

4)

D'après les tableaux de variation et de signes :

Sur ]0;exp(3)] , g(x) est continue et strictement croissante passant d'une limite égale à zéro pour x=0+ à la valeur exp(3) ≈ 20 pour x=exp(3). Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires (TVI ) , il existe un unique réel α tel que g(α)=10.

Sur [exp(3);exp(4)] , g(x) est continue et strictement décroissante passant de la valeur exp(3) ≈ 20 pour x=exp(3) à la valeur zéro pour x=exp(4). Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires (TVI ) , il existe un unique réel β tel que g(β)=10.

La calculatrice donne :

α ≈ 3.72

β ≈ 43.35

Tu vérifies !!