Bonjour, j’aurais besoin d’aide pour le première exercice de mon dm est-ce que quelqu’un pourrait m’aider ? Merci d’avance

Réponse :

bonsoir

Explications étape par étape :

f(x) = 3x² + 2x - 1

1) résoudre graphiquement

• f(x) = 0 ⇒ pour x = -1 et x = 1/3

on vérifie :

f(-1) = 3(-1)² + 2(-1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0

f(1/3) = 3(1/3)² + 2(1/3) - 1 = 1/3 + 2/3 - 1 = 0

• f(x) = - 1 ⇒ pour x = - 2/3 et x = 0

on vérifie :

f(-2/3) = 3(-2/3)² + 2(-2/3) - 1 = 3 (4/9) -4/3 - 1 = 4/3 - 4/3 - 1 = -1

f(0) = 3 × 0 + 2 × 0 - 1 = -1

• f(x) ≤ 0 pour  -1 ≤ x ≤ 1/3

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2)

g(x) = -x - 1

a )

tracer g(x) ⇒ voir graphique

g(-1) = 1 - 1 = 0

g( 0) = - 1

g( 0,5) = -1,5

b)

graphiquement f(x) = -x -1 pour x = -1 et pour x = 0

les solutions de l'équation sont x = -1 et x = 0

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3)

f(x) = 3x² + 2x - 1

déterminer les antécédents de -1 par f c'est résoudre

f(x) = - 1

soit 3x² + 2x - 1 = - 1

⇒ 3x² + 2x -1 + 1 = 0

⇒ 3x² + 2x = 0

⇒ x(3x + 2 ) = 0 →→ un produit de facteurs est nul si un des facteurs est nul

soit pour x = 0

soit pour 3x + 2 = 0 → 3x = -2 → x = - 2/3

les antécédents de - 1 par f sont x = - 2/3 et x = 0

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4)

résoudre f(x) ≤ g(x)

soit 3x² + 2x - 1 ≤ - x - 1

3x² + 2x + x + 1 - 1 ≤ 0

3x² + 3x ≤ 0

3x(x + 1) ≤ 0

⇒ 3x ≤ 0 pour x ≤ 0

⇒ x + 1 ≤ 0 pour x ≥ -1

donc f(x) ≤ g(x) pour   -1 ≤ x ≤ 0

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5)

a)

f(x) = 4x² - (x - 1)² ⇒ on développe

⇒ f(x) = 4x² - ( x² -2x + 1)

⇒ f(x) = 4x² - x² + 2x - 1

⇒ f(x) = 3x² + 2x - 1

b)

f(x) = 4x² - (x - 1)² ⇒  identité remarquable telle que

a² - b² = (a + b) (a - b)

avec ici a²= 4x²  soit a = 2x        et b² = (x - 1)²  donc b = x - 1

⇒ (2x + x - 1) (2x - x + 1)

⇒ (3x - 1)( x + 1)

c)

résoudre f(x) = 0

⇒ (3x - 1 )(x + 1) = 0 → un produit de facteurs est nul si un des facteurs est nul

soit pour 3x - 1 = 0 donc pour x = 1/3

soit pour x + 1 = 0 donc pour x = -1

les solutions de l'équation sont x = -1 et x = 1/3

d)

f(x) ≤ 0

• (3x - 1)(x + 1) ≤ 0

⇒ 3x - 1 ≤ 0 soit 3x ≤ + 1 → 3x ≤ 1 → x ≤ 1/3

⇒ x + 1 ≤ 0 soit x ≥ -1

les solutions de l'inéquation ⇒ x ∈ [-1 ; 1/3]

bonne nuit