Bonsoir j'ai un exercice de maths de niveau 1èreS f est la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)=[tex] \frac{ x^{2}+1 }{x+3} [/tex]. On note C la courbe représen

f est une fonction rationnelle définie et dérivable en tout a de IR+*.
Pour tout x de IR+*,
[tex]f'(x) = \frac{2x(x+3) - (x^2+1)}{(x+3)^2} [/tex]
[tex]f'(x) = \frac{x^2+6x-1}{(x+3)^2} [/tex]
Donc la tangente à Cf au point d'abscisse a, a pour équation pour tout a de IR+* :
T : y = f'(a)(x-a) + f(a)
T : [tex]y = \frac{a^2+6a-1}{(a+3)^2} (x-a) + \frac{a^2+1}{a+3} [/tex]
Pour que deux droites soient parallèles il faut qu'elles aient le même coefficient directeur. Le coefficient directeur d'une droite c'est le facteur de x dans l'équation de cette droite. Le coefficient directeur de T, c'est f'(a) ou encore [tex] \frac{a^2+6a-1}{(a+3)^2} [/tex]

1) Pour que C admette une tangente horizontale, il faut que le coefficient directeur de la tangente soit nul. Il faut résoudre pour tout a de IR+* : [tex] \frac{a^2+6a-1}{(a+3)^2} = 0[/tex]
ou encore a^2 + 6a-1 = 0
Tu trouves deux solutions mais a appartient à IR+*, il en reste une, et tu en conclut que C admet une tangente horizontale au point d'abscisse a...

2) Soit T' : y = x-10
Le coefficient directeur de T' c'est 1.
T parallèle à T' ⇔[tex] \frac{a^2+6a-1}{(a+3)^2} = 1[/tex]
⇔ pas possible
Donc C n'admet pas de tangente parallèle à T'.

Voilà, je suis pas totalement sûr de moi. Mais graphiquement ça a l'air d'être ça.
J'espère ne pas m'être trompé dans mes calculs.
Si t'as des questions, n'hésite pas.

Edit : ah oui pour les coordonnées des points tu poses pour le point de la tangente horizontale à Cf, A(a ; f(a)).
Tu as déjà l'abscisse qui est a, et tu calcules f(a).