Bonjour, J’ai un dm à faire mais je n’ai rien compris c’est sur les fonctions inverse ( je suis en seconde) Merci d’avance pour la personne qui arrive à le fair

Bonjour,

x² +1 > 0 pour tout x dans IR

f est donc définie et continue sur IR

1) Soit x ∈ IR

On a f(-x) - 1 / ((-x)² + 1) = 1 / (x² + 1) = f(x)

f est donc une fonction paire et sa courbe est symétrique pas rapport à (OJ).

2) Soit a et b deux réels positifs

0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ a² ≤ b²

⇔ 1 + a² ≤ 1 + b²

⇔  1 / (1 + a²) ≥ 1 / (1 + b²)

On en déduit que  ∀ x et y dans [0 ; +∞[ x ≤ y ⇔ f(x) ≥ f(y)

f est donc décroissante sur [0 ; +∞[

3. Vu que f est une fonction paire.

∀ x et y dans ]-∞ ; 0] x ≤ y ⇔ -y ≤ -x avec -x et -y dans [0 ; +∞[

⇔ f(-x) ≤ f(-y) puisque f est décroissante sur [0 ; +∞[

⇔ f(x) ≤ f(y) puisque f est paire.

f est donc croissante sur ]-∞ ; 0]

4. on a f(0) = 1

x | -∞ 0 +∞|

f(x) | croissante 1 décroissante |

5. 6.  je vous laisse faire les calculs et tracer la courbe. Un tracé est en pièce-jointe.

7.a S = [-1 ; 1]

b. f(x) ≥ 1/2 ⇔ 1 / (1 + x²) ≥ 1 /2

⇔ 1 + x² ≤ 2

⇔ x² - 1 ≤ 0

⇔ x² ≤ 1

⇔ - 1 ≤ x ≤ 1

S = [-1 ; 1]

Ce qui confirme la lecture graphique.