bonjour je suis en seconde pouvez vous m'aider s'il vous plaît ça serait pour aujourd'hui si possible je ne comprend rien a.Démontrer que pour tout réel a : 1+a

Bonjour

a) Démontrer que

[tex]1 + a {}^{2} \geqslant 2a[/tex]

revient à démontrer que ( en enlevant -2a de chque coté )

[tex]1 + a {}^{2} - 2a \geqslant 2a - 2a[/tex]

[tex]1 + a {}^{2} - 2a \geqslant 0[/tex]

[tex]a {}^{2} - 2a + 1 \geqslant 0[/tex]

Si on écrit différemment :

a² - 2 × a × 1 + 1²

On reconnaît une identité remarquable :

[tex](a - 1) {}^{2} [/tex]

Or comme on sait depuis toujours qu'un carré est positif

on a donc

[tex](a - 1) {}^{2} \geqslant 0[/tex]

et donc pour tout réel a

[tex]1 + a {}^{2} \geqslant 2a[/tex]

b)

On sait que pour tout réel a, 1 + a² ≥ 2a

donc pour tout réel positif a, 1 + a² ≥ 2a

Pour tout réel positif b, 1 + b² ≥ 2b

donc ( 1 + a² ) ( 1 + b² ) ≥ 2a × 2b

( 1 + a² ) ( 1 + b² ) ≥ 4ab