Bonjour, j'ai pas su résoudre c, comment montrer que q² est pair, veuillez m'aider s'il vous plait. A) Supposons que √12 s'écrit sous forme fractionnaire p/q où

Réponse :

Explications étape par étape :

je pense qu’il s’agit de [tex]\sqrt{2}[/tex] et non [tex]\sqrt{12}[/tex]

[tex]\frac{p}{q} =\sqrt{2}[/tex] donc [tex](\frac{p}{q})^2=2[/tex] soit p² = 2 q²

p² = 2 q² et q² est un entier donc p² est pair

Si p est impair alors il existe un entier n tel p = 2 n +1

donc p² = 4 n² + 4 n + 1 = 2 (2 n² + 2 n) + 1

2 n² + 2 n est un entier donc p² est impair

Or p² est impair donc p n’est pas impair donc p est pair

Il existe un entier n tel que p = 2 n donc p² = 4 n² = 2 q²

Donc q² = 2 n² donc d’après la question précédente, q est pair

p et q sont tous deux pairs donc divisibles par 2, donc ne sont pas premiers entre eux.

[tex]\sqrt{2}[/tex] ne s’écrit pas sous forme fractionnaire p/q avec p et q entiers naturels

Réponse :

Explications étape par étape :

c) puisque p² z=est pair alors p est pair et donc p = 2k soit p² = 4k²

et comme p² = 2q² on a 2q² = 4k²

                                        soit q² = 2 k²

on a donc q² pair et par conséquent q est pair4

d) p et q sont pairs ils ont donc un multiple commun égal à 2; ils ne sont donc pas premier entre eux

e) On peut donc simplifier la fraction p / q par 2 ce qui contredit l'hypothèse de départ.

Puisque l'hypothèse" rac 2 est rationnel " conduit à une contradiction, c'est le contraire qui est vrai, à savoir " rac2 est irrationnel ".