Bonsoir, cela fait un certain temps que je n’arrive pas à résoudre cet exercice sur les asymptotes

Réponse :

déterminer les asymptotes éventuelles ainsi que la position relative de la courbe par rapport aux asymptotes

f(x) = (x² - 4 x + 3)/(2 x + 3)      f est définie  ssi   2 x + 3 ≠ 0  ⇔ x ≠ - 3/2

donc  Df = R - {- 3/2}

f(x) = a x + b  + c/(2 x + 3)

     = [(a x + b)(2 x + 3) + c]/(2 x + 3)

     = (2a x² + 3a x + 2b x + 3b + c)/(2 x + 3)

     = (2a x² + (3a + 2b) x + (3b + c))/(2 x + 3)

2a = 1  ⇔ a = 1/2 = 0.5

3a + 2b = - 4   ⇔ 3/2 + 2b = - 4   ⇔ 2b = - 4 - 3/2 = - 11/2

⇔ b = - 11/4=-2.75

3b + c = 3   ⇔ - 33/4 + c = 3  ⇔ c = 3 + 33/4  = 45/4 = 11.25

donc  f(x) = 0.5 x - 2.75  +  11.25/(2 x + 3)  

lim f(x) = - ∞   et  lim  f(x) = + ∞  

x→ - 3/2               x→ - 3/2  

x < - 3/2               x > - 3/2

donc  x = - 3/2  est une asymptopte verticale // à l'axe des ordonnées

lim f(x) - (0.5 x - 2.75) = lim  (11.25/(2 x + 3) = 0

x+∞                                 x→+∞

et lim f(x) - (0.5 x - 2.75) = lim  (11.25/(2 x + 3) = 0

x→ -∞                                 x→ -∞

donc  y = 0.5 x - 2.75  est une asymptote oblique  

et  lorsque  x > - 3/2  ⇒ 11.25/(2 x + 3)  > 0  donc la courbe Cf est au-dessus de l'asymptote y = 0.5 x - 2.75

et lorsque x < - 3/2  Cf est en dessous de l'asymptote oblique      

Explications étape par étape :