Pour tout n entier naturel non nul on pose Un = 1 + 3 + 3² + ... + 3n-1 1. a) Exprimez Un en fonction de n. (fait) b) Démontrez que si Un ≡ 0(mod7) alors

Pour tout n entier naturel non nul on pose Un = 1 + 3 + 3² + ... + 3n-1

1. a) Exprimez Un en fonction de n. (fait)
b) Démontrez que si Un ≡ 0(mod7) alors : 3n-1 ≡ 0(mod7)
2. a) Démontrez que si 3n - 1 ≡ 0(mod 7) alors : 2Un ≡ 0(mod 7) (recurrence ?)
b) A l'aide d'un tableau des restes dans la congruence modulo 7, déduisez-en que Un ≡ 0(mod 7)
3. a) Etudiez la suite des reste de la division de 3n par 7. Démontrez que cette suite est périodique et déduisez-en k.
b) Quelles sont alors les valeurs de n pour lesquelles Un est divisible par 7 (