Bonjour pouvez-vous m’aider à résoudre cet exercice merci ( j’en ai besoin pour mon contrôle) Soit f une fonction affine telle que f(3)=-2 et f(-1)=4 1) donner

Bonjour  

1)    

Selon l'énoncé , f(x) est une fonction affine.  

L'équation  de f(x) s'écrit  selon  le  cours  :    f(x) = ax+ b

ou " a " est le coefficient directeur de la droite,  "x" une variable appartenant à l'ensemble de définition de f(x) et  "b" notre ordonnée à l'origine .

ici on nous donne les valeurs suivantes :  

f(3)= -2   et  f(-1) = 4  

On peut grâce à ses informations poser le  système suivant :  

a(3) + b =  -2       (1)

a (-1) +b =  4        (2)

Nous allons soustraire  (1) à (2) pour déterminer  "a" .

a(-1) +b -  ( a(3) +b) = 4 - (-2)  

-a +b -3a -b = 4 +2

-4a = 6

    a =  6 / -4

    a =  - 3/2

Maintenant que nous avons  " a" , nous  allons déterminer  "b" grâce à la première expression  

nous avons  donc  :    -3/2 ( 3) + b = -2  

                                   -9/2 + b =  -2

                                            b =    -2  +9/2

                                            b =   -4/2 + 9/2

                                            b =  5/2

l'équation de f(x) est donc :     f(x) = -3/2 X + 5/2

Pour se rassurer, nous pouvons nous rassurer au brouillon .

vérifions si nous n'avons pas fait d'erreur en calculant   f(3)  et  f(-1)

On a donc :     f(3) =   - 3/2  * ( 3)  + 5/2 =    -9/2 +5/2 = -4/2  = -2  

f(3) = -2  comme dans l'énoncé , notre premier point est vérifié  

Calculons   f(-1) =   - 3/2  *(-1)  + 5/2 =   3/2 + 5/2 = 8/2 = 4  

f(-1) = 4  comme dans l'énoncé, notre deuxième point est vérifié  

Conclusion : Nos deux points sont vérifié et appartienne bien à la droite d'équation  -3/2 X +5/2 .  Donc c' est bien l'équation de droite de  f(x)  

2)  f(x) est une droite.  

une droite est  croissante  si  pour   a ≥ b    f(a) ≥  f(b)

une droite est décroissante si pour  a ≤ b   f(a) ≥  f(b)

ici on  a  f(3) et  f(-1)    et  f(3) =  -2  et  f(-1) = 4

or  :   3 ≥ -1    et  f(3) ≤ f(-1)  puisque   -2 ≤  4  

Conclusion  :  f(x) est décroissante.

On peut aussi  le justifier d'une autre façon :

Une fonction affine avec un coefficient directeur positif est croissante

Une fonction affine avec un coefficient directeur négatif est décroissante

f(x) est une fonction affine et son coefficient directeur est " - 3/2".  

-3/2 ≤ 0  donc le coefficient directeur est négatif.  f(x) est donc décroissante.