Bonjour a tous, quelqu'un pourrait m'aider pour une serie : [tex]\text{justifier que la serie } \sum_{n\geq 1} \frac{e^{-x\sqrt{n}}}{n\sqrt{n}} \text{ est conve

Bonjour,

Il s'agit d'une série à termes positifs, et nous savons que la série de terme général

[tex]\dfrac1{n^{\alpha}}[/tex]

est convergente pour [tex]\alpha > 1[/tex] (série de Riemann)

Or comme pour tout n entier non nul

[tex]\dfrac{e^{-n\sqrt{n}}}{n\sqrt{n}}\leq \dfrac1{n^{\frac{3}{2}}}[/tex]

et

[tex]\dfrac{3}{2} > 1[/tex]

Le théorème de comparaison nous donne que la serie de terme générale

[tex]\dfrac{e^{-n\sqrt{n}}}{n\sqrt{n}}[/tex]

converge.

Merci