Bonsoir, Pouvez-vous m'aider à faire cet exercice sur les suites s'il vous plait ? Merci d'avance !

Réponse :

Explications étape par étape :

■ Un = n² - 2n

  Uo = 0 ; U1 = -1 ; U2 = 0 ; U3 = 3 ; U4 = 8 ; U5 = 15 ; ...

  Un' = 2n - 2 = 2 (n - 1) ≥ 0 pour n ≥ 1 .

  la suite (Un) est monotone croissante pour n ≥ 1 .

■ Vn = 2^n - n

   Vo = 1 ; V1 = 1 ; V2 = 2 ; V3 = 6 ; V4 = 12 ; V5 = 27 ; ...

   Vn+1 - Vn = 2^(n+1) - (n+1) - 2^n + n = 2*2^n - 2^n - 1

                    = 2^n - 1

    2^n - 1 > 0 donne 2^n > 1 donc n > 0 .

    (Vn) est monotone croissante pour n ≥ 1 .

■ Wn = (2n-1)/n²

  W1 = 1 ; W2 = 0,75 ; W3 = 5/9 ≈ 0,56 ; W4 = 7/16 ≈ 0,44 ; ...

  Wn' = [ 2n² - 2n(2n-1) ] / (n^4) = [ 2n - 2n² ] / n^4

         = 2n(1-n) / n^4

   2n(1-n) < 0 donne 1 - n < 0 donc n > 1 .

   (Wn) est monotone décroissante pour n ≥ 1 .

■ Xn = n * 2^n

   Xo = 0 ; X1 = 2 ; X2 = 8 ; X3 = 24 ; X4 = 64 ; ...

   Xn+1 - Xn = 2(n+1)*2^n - n*2^n

                    = (n+2)*2^n toujours positif pour n ∈ IN .

   (Xn) est monotone croissante pour n ≥ 0 .

■ Yn = 5 - 2/n

   Y1 = 3 ; Y2 = 4 ; Y3 = 13/3 ; Y4 = 4,5 ; Y5 = 4,6 ; ... ; Yn tend vers 5 ☺

   Yn' = 2/n² toujours positive

   (Yn) est monotone croissante pour n ≥ 1 .

■ Tu noteras que j' ai utilisé 2 méthodes :

   soit Un+1 - Un ; soit la dérivée Un' .