Bonjour/Bonsoir, je suis en première spé mathématiques et je voudrai savoir si quelqu'un pourrait m'aider au sujet de mon exercice de mathématique sur de l'appl

Bonjour,

1.

pour x réel

[tex]f_1(x)=x^4+x^2-1\\\\f_{-1}(x)=-x^4+x^2+1[/tex]

les points d'intersection de ces deux courbes vérifient

[tex]x^4+x^2-1=-x^4+x^2+1 < = > 2x^4=2 < = > x=1 \ ou \ x=-1[/tex]

ce qui donne A(1,1) e B(-1,1)

2.

[tex]f_{m}(1)=m+1-m=1\\\\f_{m}(-1)=m+1-m=1[/tex]

Donc c'est bien le cas.

3.

l'équation de la tangente en A(1,1) est

[tex]y=f_m'(1)(x-1)+f_m(1)=(4m+2)(x-1)+1\\\\=2(2m+1)x-4m-1[/tex]

le coefficient directeur de la droite (OA) est 1

A est bien sur la droite (OA) et A est bien sur les courbes Cm

donc on cherche m pour que 2(2m+1)=1 donc

[tex]2m+1=\dfrac1{2}\\\\m=-\dfrac{1}{4}[/tex]

4. f est dérivable car fonction polynomiale

pour x réel

[tex]f'(x)=4mx^3+2x=2x(2mx^2+1)\\\\f'' (x)=12mx^2+2[/tex]

la dérivée est égale à 0 pour x=0 ou

[tex]2mx^2+1=0 \\\\x^2=\dfrac{-1}{2m}[/tex]

si m>0 il n y a pas de solution

donc f' ne s annule que pour x = 0

et sur IR- f est décroissante et sur IR+ f est croissante donc en x=0 nous avons un minimum de f.

si m<0 nous avons

[tex]x_1=\sqrt{\dfrac{-1}{2m}}\\\\ou\\\\x_0=-\sqrt{\dfrac{-1}{2m}}\\\\[/tex]

nous pouvons faire un tableau de signes pour trouver que

f est croissante pour x plus petit que [tex]x_0[/tex]

f est décroissante entre [tex]x_0[/tex] et 0

f est croissante entre 0 et [tex]x_1[/tex]

et enfin elle est décroissante pour x plus grand que [tex]x_1[/tex]

dans ce cas nous avons deux extremums globaux en [tex]x_0[/tex] et [tex]x_1[/tex].

Pour conclure, nous n avons qu un seul extremum pour m>0.

5.

Nous savons que toutes les courbes Cm passent par le point A

or -1+6-4=1 donc A est bien sur la parabole

cherchons x qui égalise les dérivées en 1

[tex]f'_m(1)=4m+2=-2+6=4\\\\4m =2\\\\m=\dfrac1{2}[/tex]

Donc la réponse est m = 1/2

Merci

Réponse :

Explications étape par étape :

■ f(x) = mx^4 + x² - m

■ cas m = 1 :

  f(x) = x^4 + x² - 1 .

■ cas m = -1 :

  f(x) = -x^4 + x² + 1 .

  ■ ■ points A et B :

          x^4 + x² - 1 = -x^4 + x² + 1

                 2x^4   =   2

                   x^4   =   1

                   xB = -1   ou   xA = 1 .

                   yB = +1         yA = +1 .

■ 2°) f(-1) = f(1) = m + 1 - m = 1 .

■ 3°) equation de (OA) :

        y = x = première bissectrice !

        f ' (x) = 4mx³ + 2x donne f ' (1) = 4m + 2

        on veut f ' (1) = 1 donc 4m + 2 = 1

                                                4m   = -1

                                                  m   = -0,25 .

■ 4°) dérivée seconde :

        f " (x) = 12mx² + 2 = 2(6mx² + 1)

        on veut 6mx² + 1 = 0

                          6m     = -1/x²

                            m     = -1/(6x²) .

        il y aura en fait 2 extremum pour m < 0 .

        m = 0 donnerait la Parabole simple d' équation y = x²

                                                            ( un Minimum unique )

        il faut donc m > 0 pour admettre un Extremum unique ! ☺

■ 5°) Tangentes en A :

        p(x) = -x² + 6x - 4

        on veut p ' (x) = -2x + 6 = 4m + 2 pour x = 1

                      donc             4 = 4m + 2

                                           2 = 4m

                                          m = 0,5 .

   vérif avec tableau pour m = 0,5 :

    x -->      0      1        2

f ' (x) ->       0     4      20

 f(x) -->    -0,5    1      11,5

p ' (x) ->      6     4      2

 p(x) -->     -4     1      4

 on remarque bien le point commun A ( 1 ; 1 )

 et la Tangente commune d' équation y = 4x - 3 .