Bonjour quelqu’un pourrais m’aider s’il vous plaît ?

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

Il faut : x/(x-2) >  0 . On remplace par :

x(x-2) >  0.

Cette expression du deuxième degré est positive à l'extérieur des racines car le coeff de x² est positif.

Df=]-∞;0] U ]2;+∞[ ===>x=0 est possible qui donne f(0)=0

f(x)=√[-x/(-x-2)]=√[x/(x+2)] ≠ f(x)

f(x) n'est pas paire.

-f(x) =-√[x/(x-2)] ≠ f(-x)

f(x) n'est ni paire ni impaire.

2)

f(-1)=√[-1/(-1-2)]=√(1/3)

f(0)=√(0/-2)=0

1 ∉ Df

2 ∉Df

3)

On résout :

√[x/(x-2)] =-2 ==>pas de solution : une racine carrée est ≥ 0.

-----------------

√[x/(x-2)] = 0 .

On élève chaque membre qui  est positif au carré :

x/(x-2)=0 ===> x=0

-------------------

√[x/(x-2)] = 1

On élève chaque membre qui  est positif au carré :

x/(x-2)=1

x=x-2

0=-2 : impossible , pas de solution.

-------------------

√[x/(x-2)] = 2

On élève chaque membre qui  est positif au carré :

x/(x-2)=4

x=4(x-2)

x=4x-8

x=8/3

4)

Soient : 2 < a < b

2-2 < a-2 < b-2 qui donne :

1/(a-2) > 1/(b-2) car la fct inverse est décroissante sur son intervalle de définition donc < se change en >.

Mais on écrit plutôt :

1/(b-2) < 1/(a-2)

Le fait de  multiplier à gauche par "b" et à droite par "a" ne va pas  changer le sens de l'inégalité .

En effet , on arrive à :

b/(b-2) < a/(a-2) et on va vérifier si c'est correct.

On a le droit de faire le produit en croix car tous les termes sont positifs. Ce qui donne :

b(a-2) < a(b-2)

ab-2b < ab-2a

-2b < -2a qui donne :

b > a : on a divisé par "-2" qui est négatif donc <  change en > .

b > a est vérifié donc :

b/(b-2) < a/(a-2) est vérifié.

√[b/(b-2)]  < √[a/(a-2)]  car la fct racine carrée est croissante sur son intervalle de définition , donc  on ne change pas le sens de l'inégalité.

Donc :

f(b) < f(a).

Sur ]2;+∞[ , on  est parti de a < b pour arriver à f(b) < f(a) , qui prouve que la fct f(x) est décroissante sur cet intervalle.