Excusez moi du dérangement mais j'ai besoin d'aide... Je trouve cet exercice assez compliqué si quelqu'un qui aime les maths peut m'aider merci beaucoup... On c
Mathématiques
narutokun80
Question
Excusez moi du dérangement mais j'ai besoin d'aide... Je trouve cet exercice assez compliqué si quelqu'un qui aime les maths peut m'aider merci beaucoup...
On considère la fonction f définie sur] 0:+oo[ par: f(x)= In(x)/ x.
1.Déterminer la limite de la fonction f en 0. On admettra que la limite en +oo est égale à 0.
2. Déterminer la limite de la fonction f en +oo.
3. Montrer que, pour tout réel x > 0, on a:
f'(x) = 1-ln(x)/x^2
4. En déduire le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation.
5. a. Montrer que la fonction f admet un extremum. Donner la valeur exacte de cet extremum et une valeur approchée au dixième.
b. En quelle valeur de x cet extremum est-il atteint ?
On considère la fonction f définie sur] 0:+oo[ par: f(x)= In(x)/ x.
1.Déterminer la limite de la fonction f en 0. On admettra que la limite en +oo est égale à 0.
2. Déterminer la limite de la fonction f en +oo.
3. Montrer que, pour tout réel x > 0, on a:
f'(x) = 1-ln(x)/x^2
4. En déduire le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation.
5. a. Montrer que la fonction f admet un extremum. Donner la valeur exacte de cet extremum et une valeur approchée au dixième.
b. En quelle valeur de x cet extremum est-il atteint ?
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
1) lim ln x = -oo
lim x = 0^+ par quotient, lim f = -oo
2) Par croissances comparées, lim f = 0
3)
[tex] \frac{ \frac{1}{x}x + ln(x) }{x {}^{2} } [/tex]
[tex] = \frac{1 - ln(x)}{x {}^{2} } [/tex]
f'(x) =
4) Or pour tout réel x strct positif, x² > 0 donc le signe de f'(x) dépend du signe de 1 - ln (x)
1 - ln (x) > 0
ln(x) < 1
0<x < e
Donc f est croissante sur ] 0 ; e ]
f est décroissante sur [ e ; +oo [
5)a) f admet un extremum car f' s'annule pour x = e
f(e) = ln(e) / e = 1/e ≈0,4