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Question




Une personne court le long d'un champ de longueur 100m; il part de A et doit se rendre le plus rapidement possible en B en coupant à travers le champ à
partir d'un point M . Sachant qu'il court à la vitesse de 6m.s-1 sur la route mais seulement à 4m.s-1 dans le champ, déterminer la position du point M permettant de réaliser ce parcours dans un temps minimal.

1. Modéliser le problème par une fonction
On pose x=AM, avec x[0;100].
Déterminer en fonction de x le temps de parcours (en secondes) sur le trajet [AM] puis celui sur le trajet [MB], et enfin le temps de parcours sur le trajet complet.
Est il possible, en l'état de vos connaissances, d'étudier de façon simple les variations de la fonction f obtenue?
Une personne court le long d'un champ de longueur 100m; il part de A et doit se rendre le plus rapidement possible en B en coupant à travers le champ à partir d

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1 Réponse

  • Bonjour
     on donne AM = x et MC = 100 mètres on en déduit que MC = 100 - x 
    D'après le théorème de Pythagore
     MB² = MC² + BC² MB² = (100 - x)² + 20² MB² = 10 000 + x² - 200x + 400 MB = √(x² - 200x + 10 400)
     comme la personne court à 6m.s-1 sur route et à 4m.s-1 à travers champ on en déduit que pour le même temps "t" il aura parcouru une distance sur route 6 mètresalors qu'il n'aura parcouru que 4 mètres à travers champs 
    En mettant au même dénominateur on obtient alors AM sera parcouru en 2x/12 alors que  MB en 3√(x² - 200x + 10 400) / 12  La distance totale sera parcourue en
     t(x) = t(AM) + t(MB) t(x) = 2x/12 + 3√(x² - 200x + 10400)/12 t(x) = ( 2x + 3√(x²-200x + 10400)/12 Voir pièce jointe pour le tracé de la fonction et le tableau de valeurs pour connaitre la distance "x" correspondante au temps minimum
     Bonnes journée
    Image en pièce jointe de la réponse isapaul

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